出栈次序问题

昨天笔试，见到一个题

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

写代码模拟的结果如下

#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>

using namespace std;

set<queue<int>> total;

void print(queue<int> q)
{
	total.insert(q);
	while ( ! q.empty())
	{
		printf("%d ", q.front());
		q.pop();
	}
	printf("n");
}

void push(stack<int> s, int max, int n, queue<int> q)
{
	if (n > max)
	{
		while( ! s.empty())
		{
			q.push(s.top());
			s.pop();
		}
		print(q);
	}
	else
	{
		// 压栈不弹
		s.push(n);
		push(s, max, n+1, q);
		s.pop();

		// 压栈并弹
		s.push(n);
		int size = s.size();
		for (int i=0; i<size; i++)
		{
			q.push(s.top());
			s.pop();
			push(s, max, n+1, q);
		}
	}
}

int main()
{
	int n;
	while (cin>>n && n!=0)
	{
		stack<int> s;
		queue<int> q;
		total.clear();
		push(s, n, 1, q);
		printf("%dn", total.size());
	}
	return 0;
}

输入输出

可以看到上面有重复，下面以 n 为 2 解释一下

n 为 2 的输出有 5 行，5 种过程如下

1. 1 压栈，不弹
2. 2 压栈，不弹
3. 所有数字压栈完毕，依次弹栈，并打印，输出是 2 1
1. 1 压栈，不弹
2. 2 压栈，弹 1 一个数字，放入待打印队列，队列现为 2
3. 所有数字压栈完毕，现在栈为 1，把 1 弹出来，追加到待打印队列，现在队列为 2 1，输出是 2 1
1. 1 压栈，不弹
2. 2 压栈，弹 2 1 两个数字，放入待打印队列，队列现为 2 1
3. 所有数字压栈完毕，现在栈为空，现在队列为 2 1，输出是 2 1
1. 1 压栈，并弹栈，放入待打印队列，队列现为 1
2. 2 压栈，不弹
3. 所有数字压栈完毕，现在栈为 2，把 2 弹出来，追加到待打印队列，现在队列为 1 2，输出是 1 2
1. 1 压栈，并弹，放入待打印队列，队列现为 1
2. 2 压栈，并弹，放入待打印队列，队列现为 1 2
3. 所有数字压栈完毕，现在栈为空，现在队列为 1 2，输出是 1 2

这个东西叫做卡特兰数，卡特兰数的性质可以参考这里，http://peng5047.iteye.com/blog…

1.卡特兰数是一种数列，以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰命名。
2.卡特兰数列：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012……
令第n项为h(n)，则：
h(0) = 1;
h(1) = 1;
h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + …… + h(n-1)*h(0)，其中n>=2
卡特兰数的另一种形式：h(n) = C(2n,n)/(n + 1)，其中n>=1

百度百科，http://baike.baidu.com/view/24…，里面也有关于这个的分析，写的挺清楚的，摘录过来

常规分析
　　首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定第一个出栈的序数是k。
　　第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。
　　此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n – k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
　　看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n+1）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=1，2，3，……）。
　　最后，令f（0）=1，f（1）=1。
　　非常规分析
　　对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
　　在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
　　不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
　　反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
　　因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
　　显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。

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2012-10-14 23:25:11 update 这个题目在编程之美上也有讨论，在 274 页

ZRJ

学习笔记

出栈次序问题

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